Μετρικός χώρος

Poll without page-refresh

Article on other languages:

	del.icio.us
	Digg
	Furl
	Reddit
	Rojo
	Add to OnlyWire

Στα μαθηματικά, μετρικός χώρος είναι ένα σύνολο στο οποίο έχει οριστεί μία έννοια «απόστασης». Συγκεκριμένα, ας είναι $X$ ένα μη κενό σύνολο, και $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$ μία συνάρτηση. Η συνάρτηση θα λέγεται μετρική, και το ζεύγος $(X, d)$ θε λέγεται μετρικός χώρος, αν για κάθε $x,y,z\in X$ ικανοποιεί τα ακόλουθα:

$x=y \Leftrightarrow d(x,y)=0=d(y,x)$ (αξίωμα ταύτισης)

$\,d(x,y)=d(y,x)$ (αξίωμα συμμετρίας)

$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (αξίωμα τριγώνου)

Απόσταση δύο σημείων x, y του χώρου, ονομάζεται η τιμή d(x,y).

Σε έναν μετρικό χώρο επιπλέον, μπορεί να δείξει κανείς ότι

$d(x,y)\geq 0$ ,

για κάθε $x,y\in X$ . Πράγματι, για κάθε x και για κάθε y, η τριγωνική ανισότητα δίνει $d(x,y)+d(y,x) \geq d(x,x)$ · από τα αξιώματα ταύτισης και συμμετρίας παίρνουμε $2 d(x,y) \geq 0$ , δηλαδή $d(x,y) \geq 0$ .

Τυπικό παράδειγμα μετρικού χώρου αποτελεί ο τριδιάστατος ευκλείδειος χώρος, εφοδιασμένος με την ευκλείδεια μετρική.

Γενικεύσεις

Ένα σύνολο εφοδιασμένο με μία συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τα αξιώματα συμμετρίας και τριγώνου, αλλά αντί του αξιώματος ταύτισης, ικανοποιεί το

$x=y \Rightarrow d(x,y)=0=d(y,x)$

λέγεται ψευδομετρικός χώρος. Ακόμη, ένα σύνολο εφοδιασμένο με μια συνάρτηση που ικανοποιεί το αξίωμα ταύτισης και το αξίωμα τριγώνου, αλλά όχι απαραίτητα και το αξίωμα συμμετρίας, λέγεται οιονεί μετρικός χώρος (quasi-metric space) ή μη συμμετρικός μετρικός χώρος.

Αυτό το άρθρο μαθηματικών χρειάζεται επέκταση. Βοηθήστε τη Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το!

Ανακτήθηκε από "http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CF%87%CF%8E%CF%81%CE%BF%CF%82"

Κατηγορίες: Μαθηματικά-επέκταση | Μαθηματική ανάλυση

This article is from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.

Giant Panda

Mercedes Car

This site monitored by SitePinger.net